Orbite classiche e Meccanica Quantistica

Il legame fra le orbite classiche e la Meccanica Quantisitica

Come si applica il principio di corrispondenza ai modelli di Bohr e Rutherford?

Cominciamo dall'inizio. Conosci la teoria di Bohr: gli atomi possono occupare solo certi livelli energetici, ed emettono o assorbono radiazione solo quando saltano da un livello all'altro. Se un elettrone cade su un livello di energia inferiore, viene emesso un fotone; per il principio di conservazione dell'energia, sappiamo che l'energia di quel fotone è uguale all'energia che l'elettrone ha perso--cioè, alla differenza fra il livello superiore e quello inferiore. Sappiamo anche che l'energia del fotone è uguale alla sua frequenza moltiplicata per la costante di Planck; perciò, se conosciamo quali sono i livelli energetici, possiamo trovare le frequenze corrispondenti.

Sì, ma come facciamo a sapere quali livelli energetici sono permessi?

Bohr trovò una formula che forniva questi livelli. La formula non aveva un saldo fondamento teorico, ma andava d'accordo molto bene con i dati sperimentali. Nel 1885, circa 30 anni prima del lavoro di Bohr, J.J. Balmer studiò le frequenze delle righe spettrali dell'idrogeno, e scoprì un'equazione che forniva con grandissima precisione queste frequenze. Bohr scoprì che la sua teoria era in perfetto accordo con questa formula, a patto di assumere che il momento angolare dell'elettrone fosse ristretto ad un determinato insieme di valori. (Doveva essere un multiplo intero della costante di Planck divisa per 2 pi greco, detta "h tagliata")

Posso mostrarti la formula di Balmer e il modo in cui Bohr derivò da essa il momento angolare dell'elettrone.

Dato il momento angolare, Bohr potè trovare agevolmente la velocità e il raggio orbitale dell'elettrone, con i quali poter calcolare la sua energia cinetica e potenziale. Questo, a sua volta, significava poter calcolare la differenza di energia fra due orbite, e quindi la frequenza del fotone corrispondente.

OK...cosa c'entra tutto questo con la faccenda dei livelli energetici molto densi e ravvicinati?

Come ti ho detto, il momento angolare doveva essere un multiplo intero di h tagliata; l'intero viene di solito indicato con n. Il valore n=1 corrisponde allo stato fondamentale, dove l'elettrone possiede la minima energia possibile. Esaminando la sua formula, Bohr notò che, al crescere di n, la differenza fra livelli consecutivi di energia diventa sempre più piccola; precisamente, tende a zero quando n tende all'infinito.

Quindi i livelli di energia sono "ben impacchettati" quando n è grande. Ma cosa c'entra questo con il modello classico?

Ti ricordi che dalla formula di Bohr si può ricavare il raggio orbitale e la velocità dell'elettrone? A loro volta, questi valori ci permettono di calcolare la sua frequenza orbitale--cioè il numero di orbite che percorre nell'unità di tempo.

E' quella che abbiamo chiamato la "frequenza di oscillazione", vero?

Giusto. Ora viene il bello: man mano che n cresce, la differenza fra i livelli di energia che corrispondono ad n e n+1 si avvicina sempre di più alla costante di Planck moltiplicata per la frequenza orbitale al livello n.

Aspetta un momento...abbiamo detto che la differenza fra i livelli energetici deve essere uguale alla costante di Planck moltiplicata per la frequenza del fotone. Quindi, per valori molto grandi di n, la frequenza del fotone risulta in pratica uguale alla "frequenza di oscillazione" dell'elettrone--che è quello che prevede il modello di Rutherford!

Esatto; ecco dove la meccanica classica e quella quantistica si sovrappongono. Un altro modo di vederlo è il seguente: si può pensare che la frequenza del fotone emesso sia sempre compresa fra le frequenze orbitali dei due livelli coinvolti (il che può essere verificato, con qualche calcolo). Quando i livelli energetici si avvicinano fra loro, non c'è più molto "spazio", cosicchè la frequenza del fotone è costretta ad essere sempre più vicina a quella orbitale.

Posso farti vedere una dimostrazione algebrica di questa relazione fra i modelli di Rutherford e di Bohr.

Notevole. Ora vedo chiaramente il legame fra il modo classico di affrontare il problema, che funziona bene per grandi oggetti come stelle o pianeti, e il modello di Bohr, che descrive come vanno veramente le cose su scala atomica...

In realtà, questo non è proprio tutto. Nessuno sa esattamente cosa succede "veramente" all'interno di un atomo, ma sappiamo che il modello di Bohr sicuramente non è giusto; gli elettroni non si muovono affatto lungo delle orbite. Il modello di Schrödinger è molto più in accordo con i dati sperimentali che abbiamo, quindi presumiamo che sia una descrizione più vicina alla realtà.

Oh, no, un altro modello! Come fa il modello di Schrödinger a spiegare la radiazione emessa dagli atomi? E' ancora in accordo con l'idea delle "cariche oscillanti"?

Questa è un'altra storia...

53rd