Matematica

via Vitruvio 41
20124 Milano
2 Liceo Classico
a.s. 2011/12
Le funzioni seno e coseno
Le funzioni seno e coseno sono le prime due funzioni goniometriche, cioè le funzioni che alla misura dell'ampoiezza di un angolo associano un numero reale. Per definirle, abbiamo bisogno di introdurre la circonferenza goniometrica definita nel seguente modo:
Circonferenza goniometrica: nel piano cartesiano si definisce circonferenza goniometrica la circonferenza con centro nell'origine e raggio unitario, cioè di lunghezza 1. L'equazione di tale circonferenza è Eq.(1)
In questa equazione x è l'ascissa del punto della circonferenza mentre y è la corrispodente ordinata.

Possiamo, a questo punto, dare la definizione delle funzioni seno e coseno
Definizione di seno e coseno
Consideriamo la circonferenza goniometrica e un angolo orientato α  e sia B il punto delle circonferenza associato all'angolo. Si definiscono coseno e seno dell'angolo   α  le funzioni che all'angolo α associano, rispettivamente, il valore dell'ascissa e quello dell'ordinata del punto B, cioè
Eq.(2)
Il triangolo OBH è rettangolo nell'angolo H per cui si può applicare il Teorema di Pitagora ai cateti OH e BH e all'ipotenusa OB nel seguente modo
Eq.(3)
A questo punto si possono sostituire nell'Eq.(3) le definizioni dell'Eq.(2) ricordandosi che OB è il raggio della circonferenza goniometrica. Si ottiene in questo modo la prima relazione fondamentale della goniometria, cioè
Eq.(4)

Le funzioni seno e coseno dell'angolo α sono funzioni che hanno come dominio , perchè per ogni valore di   esiste uno e un solo punto sulla circonferenza.

Le variazioni delle funzioni seno e coseno
Supponiamo che un punto B percorra l'intera circonferenza goniometric a partire dal punto A, in verso antiorario (applet geogebra). Possiamo riassumere i valori delle funzioni nella seguente tabella
angolo (gradi) angolo (radianti) sen α cos α
0 0 1
90º π/2 1 0
180º π 0 -1
270º 3/2 π -1 0
360º 2 π 0 1

proprietà delle funzioni seno e coseno
  1. Le funzioni seno e coseno sono periodiche di periodo 2π (360º) come si vede dall'applet precedente e si scrive che
  2. sen ( α + k 2 π )= senα     cos( α + k 2 π )= cosα           Eq.(5)
  3. Il grafico della funzione seno si dice sinusoide mentre quello del coseno si chiama cosinusoide. Da questi grafici si vede che il seno è positivo nel I e II quadrante del piano cartesiano mentre è negativo nel III e IV quadrante. Il coseno è positivo nel I e IV quadrante mentre è negativo nel II e III quadrante. Il seno è crescente nel I e IV qudrante mentre è decrescente nel II e III qudrante. Il coseno è crescente nel III eIV quadrante mentre è decrescente nel I e II quadrante.
  4. Qualunque sia la posizione del punto B sulla circonferenza, la sua oridnata e la sua ascissa assumono sempre valori compresi fra -1 e 1, cioè 
        Eq. (6)
  5. Il coseno è una funzione pari perchè   Eq. (7)
  6. il seno è una funzione dispari perchè Eq. (8)